Retomando as atividades no blog, começo com um post bem descontraído. 

Considerando a expressão do título, 3 + 1 = 10, como você reage? O que você acha do resultado? Está correto ou errado? A resposta é: depende da base.

O que isso siginifica? Bem, vamos começar do começo. Quando aprendemos a contar números e a somá-los, aprendemos que temos 10 algarismos diferentes, são eles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, correto? Logo, se somarmos 1 + 1 o resultado é 2. Ótimo!

Numa definição mais vertical, o conjunto de algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 compõem uma base matemática decimal. Por quê? Porque temos 10 números (ou algarismos ou caracteres) diferentes.

Mecanicamente, a soma funciona como um odômetro (ou hodômetro, como quiser) veicular, como o objeto a seguir:

Aprendemos que, depois do número 9, vem o número 10, porque na base decimal temos apenas 10 algarismos diferentes. Vamos imaginar que o odômetro abaixo rodará 21 km. Consideremos que se trata de um carro zero, ou seja, o odômetro está zerado, assim:

Ao começar a viagem, logo o primeiro quilômetro é atingido e o odômetro o marca...

Por quê se vai de 0 (zero) para 1 (um)? Porque, na base decimal, o algarismo 1 (um) vem logo a seguir do algarismo (ou dígito) 0 (zero). Isto posto, vamos continuar nossa viagem... O segundo quilômetro chega...

O terceiro...

O quarto...

O quinto...

O sexto...

O sétimo...

O oitavo...

O nono...

Opa!!! E agora?!?! Não existe, na base 10 (ou decimal) algarismo depois do número 9!!! O que fazemos??? Simples! Incrementamos o próximo contador à esquerta e voltamos o contador atual para 0 (zero). Essa operação resulta no próximo número depois do 9, na base decimal, que é 10!

Simples, não?!

Continuando nossa viagem... Vem o décimo primeiro quilômetro...

O décimo segundo...

O décimo terceiro...

O décimo quarto...

O décimo quinto...

O décimo sexto...

O décimo sétimo...

O décimo oitavo...

O décimo nono...

Como não há algarismo (ou dígito) após o 9 (nove), na base 10, incrementamos o algarismo da esquerda e zeramos o atual. Assim, temos o 20 (vinte)...

O vigésimo primeiro e assim por diante...

Legal! Como já sabemos (mais do que "de cor e salteado", rs) como funciona o incremento de sequencias numéricas na base 10 (ou decimal), vamos deixar a brincadeira mais divertida! Vamos pensar numa base com apenas 2 (dois) algarismos (ou dígitos): a base binária, que por sua vez, possui apenas dois algarismos (ou dígitos), o 0 (zero) e o 1 (um).

Sabemos que o mecanismo de incrementação é o mesmo. Então, se zerarmos o odômetro, temos:

Incrementando, temos o primeiro quiilômetro...

Agora, para o segundo, como a nossa base é binária, incrementamos o algarismo (ou dígito) da esquerda e zeramos o atual, seguinte o mesmo mecanismo aplicado antes...

Uau! 10?! Sim! O número 10 na base binária é o mesmo que 2 na base decimal! Impressionante, não?! Vamos continuar? Se incrementarmos a seqüência, sempre utilizando o mesmo mecanismo, temos o terceiro quilômetro, que representa o número 3 na base decimal...

Continuando, temos o quarto quilômetro na base binária...

100 na base binária é o mesmo que 4 na base decimal! Bacana, não?! Bom, agora vamos fazer mais um ensaio. Consideremos uma base formada por 4 algarismos (0, 1, 2 e 3), ok? Vamos incrementar a seqüência a partir do 0 (zero) até chegarmos na equação do início desse texto? Legal, vamos lá! Vamos zerar o nosso odômetro:

Incrementando (ou somando) sempre uma unidade, temos...

Incrementando mais uma unidade, temos...

Mais uma vez, temos...

Legal! Chegamos onde queríamos! Temos registrado em nosso odômetro o número 3 (três), correto? Como estamos trabalhando na base 4 (quatro) ou quartenária, como quiser, temos como opções apenas os números 0, 1, 2 e 3. Aplicando o mesmo algoritmo de incrementação, temos...

Agora, a expressão do início do post faz sentido, não? 3 + 1 = 10? Depende da base! Se for na base quartenária (ou base 4) sim, 3 + 1 = 10!

Era isso!